Арифметична прогресія (9 клас): формули, приклади

Опубликованно 11.10.2018 07:51

Розуміння багатьох тем з математики та фізики пов\'язано зі знанням властивостей числових рядів. Школярі у 9 класі при вивченні предмета "Алгебра" розглядають одну з важливих послідовностей чисел - арифметичну прогресію. Наведемо основні формули арифметичної прогресії (9 клас), а також приклади їх використання для вирішення завдань. Алгебраїчна або арифметична прогресія

Числовий ряд, який буде розглянуто в даній статті, називають двома різними способами, представленими в назві цього пункту. Отже, під арифметичною прогресією математики розуміють такий числовий ряд, в якому стоять поруч будь-які два числа відрізняються на одну і ту ж величину, що носить назву різниці. Числа в такому ряду прийнято позначати літерами з нижнім цілочисельним індексом, наприклад, a1, a2, a3 і так далі, де індекс вказує номер елемента ряду.

Враховуючи дане вище визначення арифметичної прогресії, можна записати наступне рівняння: a2-a1 =...=an-an-1=d, тут d - різниця прогресії алгебраїчної і n - будь-яке ціле число. Якщо d>0, то можна очікувати, що кожен наступний член ряду буде більше попереднього, в цьому випадку говорять про зростаючої прогресії. Якщо d<0, тоді попередній член буде більше подальшого, тобто ряд буде спадати. Приватний випадок виникає, коли d = 0, тобто ряд представляє собою послідовність, в якій a1=a2 =...=an. Формули арифметичної прогресії (9 клас школи)

Розглянутий ряд чисел, оскільки є впорядкованим і підпорядковується певного математичного закону, володіє двома важливими для його використання властивостями: По-перше, знаючи всього два числа a1 і d, можна знайти будь-який член послідовності. Це робиться за допомогою такої формули: an = a1+(n-1)*d. По-друге, для обчислення суми n перших членів не обов\'язково складати їх по порядку, оскільки можна скористатися наступною формулою: Sn = n*(an+a1)/2.

Першу формулу зрозуміти просто, так як вона є прямим наслідком того, що кожен член розглянутого ряду відрізняється від свого сусіда на однакову різницю.

Друга формула арифметичної прогресії може бути отримана, якщо звернути увагу на те, що сума a1+an виявляється еквівалентної сумами a2+an-1, a3+an-2 і так далі. Дійсно, оскільки a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1, an-1 = -d+an, то підставляючи ці вирази у відповідні суми, отримаємо, що вони будуть однаковими. Множник n/2 у 2-й формулі (Sn) з\'являється з-за того, що сум типу ai+1+an-i виявляється рівно n/2, тут i - ціле число, пробегающее значення від 0 до n/2-1.

Згідно з історичними свідченнями, формулу для суми Sn вперше отримав Карл Гаусс (знаменитий німецький математик), коли перед ним було поставлено завдання вчителем скласти перші 100 чисел.

Далі в статті розглянемо приклади формул арифметичної прогресії. Приклад завдання №1: знайдіть різницю

Завдання, в яких ставиться питання наступним чином: знаючи формули арифметичної прогресії, як знайти д (d), є найпростішими, які тільки можуть бути для цієї теми.

Наведемо такий приклад: дано числова послідовність -5,-2, 1, 4, ..., необхідно визначити її різниця, тобто d.

Зробити це простіше простого: потрібно взяти два елементи й з більшої за рахунком відняти менший. В даному випадку маємо: d = -2 - (-5) = 3.

Щоб бути впевненим напевно в отриманій відповіді, рекомендується перевірити інші різниці, оскільки представлена послідовність може не задовольняти умові прогресії алгебраїчної. Маємо: 1-(-2)=3 і 4-1=3. Ці дані говорять про те, що ми отримали правильний результат (d=3) і довели, що ряд чисел в умові задачі дійсно являє собою прогресію алгебраїчну. Приклад завдання №2: знайдіть різницю, знаючи два члена прогресії

Розглянемо ще одну цікаву задачу, яка ставиться питанням, як знайти різницю. Формули арифметичної прогресії в цьому випадку необхідно використовувати для n-ного члена. Отже, завдання: дано перше і п\'яте числа ряду, який відповідає всім властивостям алгебраїчної прогресії, наприклад, це числа a1 = 8 a5 = -10. Як знайти різницю d?

Починати вирішення цієї задачі слід з запису загального виду формули для n-ного елемента: an = a1+d*(-1+n). Тепер можна піти двома шляхами: або підставити відразу числа і працювати з ними, або висловити d, а потім переходити до конкретних a1 і a5. Скористаємося останнім способом, отримуємо: a5 = a1+d*(-1+5) або a5 = 4*d+a1, звідки випливає, що d = (a5-a1)/4. Тепер можна спокійно підставити відомі дані з умови і отримати кінцевий відповідь: d = (-10-8 )/4 = -4,5.

Зауважимо, що в даному випадку різниця прогресії виявилася негативною, тобто має місце спадна послідовність чисел. На цей факт необхідно звертати увагу при рішенні завдань, щоб не переплутати знаки "+" і "-". Всі формули, наведені вище, є універсальними, тому завжди слід їх дотримуватися незалежно від знака чисел, з якими здійснюються операції.

Приклад розв\'язання задачі №3: знайдіть a1, знаючи різницю і елемент

Змінимо трохи умову задачі. Нехай є два числа: різниця d=6 і 9-й елемент прогресії a9 = 10. Як знайти а1? Формули арифметичної прогресії залишаються незмінними, скористаємося ними. Для числа a9 маємо такий вираз: a1+d*(9-1) = a9. Звідки легко отримуємо перший елемент ряду: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38. Приклад розв\'язання задачі №4: знайдіть a1, знаючи два елемента

Цей варіант завдання є ускладненою версією попереднього. Суть полягає в тому самому, необхідно обчислити a1, однак тепер різниця d не відома, а замість неї дадуть ще один елемент прогресії.

Прикладом такого типу завдань може служити наступний: знайдіть перше число послідовності, для якої відомо, що вона є арифметичною прогресією, і що її 15-й і 23-й елементи дорівнюють 7 і 12, відповідно.

Вирішувати цю задачу необхідно з вирази для запису n-ного члена для кожного відомого з умови елемента, маємо: a15 = d*(15-1)+a1 і a23 = d*(23-1)+a1. Як видно, ми отримали два лінійні рівняння, які потрібно вирішити щодо a1 і d. Зробимо так: віднімемо від другого рівняння перше, тоді отримаємо такий вираз: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. При отриманні останнього рівняння були опущені значення a1, оскільки вони скорочуються при відніманні. Підставляючи відомі дані, знаходимо різницю: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Значення d необхідно підставити в будь-яку формулу для відомого елемента, щоб отримати перший член послідовності: a15 = 14*d+a1, звідки: a1=a15-14*d = 7-14*0,625 = -1,75.

Перевіримо отриманий результат, для цього знайдемо a1 через другий вираз: a23 = d*22+a1 або a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75. Приклад розв\'язання задачі №5: знайдіть суму n елементів

Як можна було помітити, до цього моменту для вирішення використовувалася лише одна формула арифметичної прогресії (9 клас). Тепер наведемо завдання, для рішення якої знадобитися знання другої формули, тобто для суми Sn.

Є наступна впорядкований ряд чисел -1,1, -2,1, -3,1,..., потрібно обчислити її суму 11 перших елементів.

З цього ряду видно, що він є спадним, і a1 = -1,1. Його різниця дорівнює: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Тепер визначимо 11-й член: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1,1) = -11,1. Виконавши підготовчі обчислення, можна скористатися зазначеної вище формули для суми, маємо: S11 =11*(-1,1 +(-11,1) )/2 = -67,1. Оскільки всі складові були від\'ємними числами, то і їх сума має відповідний знак. Приклад розв\'язання задачі №6: знайдіть суму елементів від n до m

Мабуть, цей тип завдань є найскладнішим для більшості школярів. Наведемо типовий приклад: дано ряд чисел 2, 4, 6, 8 ..., необхідно знайти суму з 7-го по 13-й членів.

Формули арифметичної прогресії (9 клас) використовуються точно такі ж, як і у всіх завданнях раніше. Цю задачу рекомендується вирішувати поетапно: Спочатку знайти суму 13 членів за стандартною формулою. Потім розрахувати цю суму для 6 перших елементів. Після цього відняти з 1-ї суми 2-ю.

Приступимо до виконання. Так само як і в попередньому випадку, проведемо підготовчі обчислення: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Обчислимо дві суми: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Беремо різницю і отримуємо шуканий відповідь: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Зазначимо, що при отриманні цього значення використовувалася в якості вычитаемого саме сума 6 елементів прогресії, оскільки 7-й член входить в суму S7-13. Автор: Валерій Савельєв 20 Вересня 2018

Категория: Новости