Арифметичний квадратний корінь та його властивості

Опубликованно 28.10.2018 15:10

Всі ми в школі вивчали арифметичні квадратні корені на уроках алгебри. Буває, якщо знання не освіжати, то вони швидко забуваються, то ж і з корінням. Дана стаття буде корисна восьмикласникам, що бажають освіжити свої знання в цій області, і іншим школярам, адже з корінням ми працюємо і 9, і 10, і 11 класах.

Історія кореня ступеня

Ще в давнину, а конкретно - в Стародавньому Єгипті людям для виконання операцій над числами стали необхідні міри. Коли не було такого поняття, єгиптяни записували твір одного і того ж числа по двадцять разів. Але незабаром було придумано рішення проблеми - число раз, яке число треба помножити саму на себе, стали записувати в правому верхньому куті над ним, і така форма запису збереглася до наших днів.

А історія квадратного кореня почалася близько 500 років тому. Його позначали по-різному, і лише у сімнадцятому столітті Рене Декарт ввів такий знак, яким ми користуємося і по сей день.

Що таке квадратний корінь

Почнемо з пояснення того, що ж таке квадратний корінь. Квадратний корінь з деякого числа c - це таке невід\'ємне число, яке при зведенні в квадрат буде одно с. При цьому c більше або дорівнює нулю.

Щоб внести число під корінь, ми зводимо його в квадрат і ставимо над ним знак кореня:

32 = 9, 3 = ?9

Також ми не можемо отримати значення квадратного кореня з від\'ємного числа, так як в квадраті будь-яке число є позитивним, тобто:

c2 ? 0, якщо ?з - від\'ємне число, то з2 < 0 - що суперечить правилу.

Для швидкого обчислення квадратних коренів необхідно знати таблицю квадратів чисел. Властивості

Розглянемо алгебраїчні властивості квадратного кореня.

1) Для добування квадратного кореня з добутку треба витягти корінь з кожного множника. Тобто його можна розписати як добуток коренів множників:

?ac = ?a ? ?c, наприклад:

?36 = ?4 ? ?9

2) При витягу кореня з дробу треба витягти корінь окремо з чисельника і знаменника, тобто розписати як приватне їх коренів.

3) Значення, отримане при витягу квадратного кореня з числа, завжди дорівнює модуля цього числа, так як модуль може бути тільки позитивним:

?з2 = ?з?, ?з? > 0.

4) Для зведення кореня в яку-небудь ступінь, ми зводимо в неї підкореневий вираз:

(?)4 = ?з4, наприклад:

(?2)6 = ?26 = ?64 = 8

5) Квадрат арифметичного кореня з дорівнює самого цього числа:

(?с)2 = с. Коріння ірраціональних чисел

Припустимо, порахувати корінь з шістнадцяти легко, але як витягувати корінь з таких чисел, 7, 10, 11?

Число, корінь якого є нескінченною непериодической дробом, називають ірраціональним. Витягти корінь з нього самостійно ми не можемо. Ми здатні тільки порівнювати його з іншими числами. Наприклад, взяти корінь з числа 5 і порівняти його з ?4 і ?9. Зрозуміло, що ?4 < ?5 < ?9, тоді 2 < ?5 < 3. Отже, значення кореня з п\'яти знаходиться десь у проміжку між двійкою і трійкою, але десяткових дробів між ними багато, і підбирати кожну - сумнівний спосіб знаходження кореня.

Можна зробити цю операцію на калькуляторі - це самий простий і швидкий спосіб, але в 8 класі з арифметичного квадратного кореня ніколи не вимагатимуть витягувати ірраціональні числа. Необхідно тільки запам\'ятати наближені значення кореня з двох і кореня з трьох:

?2 ? 1,4,

?3 ? 1,7. Приклади

Тепер на основі властивостей квадратного кореня вирішимо кілька прикладів:

1) ?172 - 82

Згадуємо формулу різниці квадратів:

?(17-8) (17+8) = ?9 ? 25

Ми знаємо властивість арифметичного квадратного кореня - щоб витягти корінь з добутку, треба витягти його з кожного множника:

?9 ? ?25 = 3 ? 5 = 15

2) ?3 (2?3 + ?12) = 2 (?3)2 + ?36

Застосовуємо ще одна властивість кореня - квадрат арифметичного кореня з числа дорівнює самого цього числа:

2 ? 3 + 6 = 12

Важливо! Найчастіше, починаючи працювати і вирішувати приклади з арифметичними квадратними коренями, школярі роблять таку помилку:

?12 + 3 = ?12 + ?3 - так робити не можна!

Ми не можемо витягувати корінь з кожного доданку. Такого правила немає, але його плутають з витяганням кореня з кожного множника. Якщо б у нас була така запис:

?12 ? 3, то справедливо було б написати ?12 ? 3 = ?12 ? ?3.

А так ми можемо записати:

?12 + 3 = ?15 Автор: Марина Бобер 14 Жовтня, 2018

Категория: Новости