Що таке розгортка конуса і як її побудувати? Формули і приклад розв\'язання задачі

Опубликованно 27.12.2018 19:55

Кожен школяр чув про круглому конусі і уявляє, як виглядає ця об\'ємна фігура. У даній статті дається визначення розгортки конуса, наводяться формули, що описують її характеристики, а також описується спосіб її побудови за допомогою циркуля, транспортира та лінійки. Круглий конус в геометрії

Наведемо геометричне визначення цієї фігури. Круглим конусом називається поверхня, утворена прямими відрізками, що з\'єднують точки деякої кола з однієї-єдиною точкою простору. Ця єдина точка не повинна належати площини, в якій лежить коло. Якщо замість окружності взяти коло, то зазначений спосіб призводить до отримання конуса.

Коло називається підставою фігури, його окружність - це директриса. Відрізки, що сполучають точки з директрисою, називаються генератрисами або утворюють, а точка, де вони перетинаються - це вершина конуса.

Круглий конус може бути прямим і похилим. Обидві фігури показано нижче на малюнку.

Різниця між ними полягає в наступному: якщо перпендикуляр з вершини конуса падає точно в центр кола, то конус буде прямим. Для нього перпендикуляр, який називається висотою фігури, є частиною його осі. У разі конуса похилого висота і вісь утворюють деякий гострий кут.

Через простоти і симетричності фігури далі будемо розглядати властивості тільки прямого конуса з круглою основою. Отримання фігури з допомогою обертання

Перед тим як перейти до розгляду розгортки поверхні конуса, корисно дізнатися, як за допомогою обертання можна отримати цю просторову фігуру.

Припустимо, що у нас є прямокутний трикутник зі сторонами a, b, c. Перші дві з них є катетами, c - гіпотенуза. Поставимо трикутник на катет a і почнемо його обертати навколо катета b. Гіпотенуза c при цьому опише конічну поверхню. Ця проста методика отримання конуса зображено нижче на схемі.

Очевидно, що катет a буде радіусом основи фігури, катет b - його висотою, а гіпотенуза c відповідає утворює круглого прямого конуса. Вид розгортки конуса

Як можна здогадатися, конус утворений двома типами поверхонь. Одна з них - це плоский коло підстави. Припустимо, що він має радіус r. Друга поверхня є бічний і називається конічної. Нехай її буде твірна дорівнює g.

Якщо у нас є паперовий конус, то можна взяти ножиці, відрізати від нього підставу. Потім, конічну поверхню слід розрізати уздовж будь утворює і розгорнути її на площині. Таким способом ми отримали розгортку бічної поверхні конуса. Дві поверхні разом з вихідним конусом показано на схемі нижче.

Внизу праворуч зображено коло підстави. По центру показана розгорнута конічна поверхня. Виявляється, що вона відповідає деякому кругового сектора кола, радіус якого дорівнює довжині утворюючої g. Кут і площа розгортки

Тепер отримаємо формули, які за відомими параметрами g і r дозволяють розрахувати площу і кут розгортки конуса.

Очевидно, що дуга кругового сектора, показаного вище на малюнку, має довжину, рівну довжині окружності основи, тобто:

l = 2*pi*r.

Якби весь коло радіусом g був побудований, то його довжина склала:

L = 2*pi*g.

Оскільки довжина L відповідає 2*pi радианам, тоді кут, на який спирається дуга l, можна визначити з відповідної пропорції:

L ==> 2*pi;

l ==> ?.

Тоді невідомий кут ? буде дорівнює:

? = 2*pi*l/L.

Підставляючи вирази для довжин l і L, приходимо до формули для кута розгортки бічної поверхні конуса:

? = 2*pi*r/g.

Кут ? тут виражений в радіанах.

Для визначення площі Sb кругового сектора скористаємося знайденим значенням ?. Складаємо ще одну пропорцію, тільки вже для площ. Маємо:

2*pi ==> pi*g2;

? ==> Sb.

Звідки слід висловити Sb, а потім підставити значення кута ?. Отримуємо:

Sb = ?*g2*pi/(2*pi) = 2*pi*r/g*g2/2 = pi*r*g.

Для площі конічної поверхні ми отримали досить компактну формулу. Величина Sb дорівнює добутку трьох множників: числа пі, радіуса фігури і її утворює.

Тоді площа всієї поверхні фігури дорівнює сумі Sb і So (площа круглого підстави). Отримуємо формулу:

S = Sb + So = pi*r*(g + r). Побудова розгортки конуса на папері

Для виконання цього завдання знадобиться аркуш паперу, олівець, транспортир, лінійка і циркуль.

В першу чергу накреслимо прямокутний трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і 5 див. Його обертання навколо катета до 3 см дасть шуканий конус. Біля фігури r = 3 см, h = 4 см, g = 5 див.

Побудова розгортки почнемо з малювання циркулем колу радіусом r. Її довжина дорівнюватиме 6*pi див. Тепер поруч з нею намалюємо ще одну окружність, але вже радіусом g. Її довжина буде відповідати 10*pi див. Тепер нам потрібно від великої окружності відрізати круговий сектор. Кут ? дорівнює:

? = 2*pi*r/g = 2*pi*3/5 = 216o.

Тепер відкладаємо транспортиром цей кут на окружності з радіусом g і проводимо два радіуса, які будуть обмежувати круговий сектор.

Таким чином, ми побудували розгортку конуса з вказаними параметрами радіусу, висоти і утворює. Приклад рішення геометричної задачі

Даний круглий прямий конус. Відомо, що кут його бокової розгортки дорівнює 120o. Необхідно знайти радіус і утворить цієї фігури, якщо відомо, що висота h конуса дорівнює 10 див.

Завдання не є складною, якщо згадати, що круглий конус - це фігура обертання прямокутного трикутника. З цього трикутника випливає однозначний зв\'язок між висотою, радіусом і утворює. Запишемо відповідну формулу:

g2 = h2 + r2.

Другим виразом, який слід використовувати при вирішенні, є формула для кута ?:

? = 2*pi*r/g.

Таким чином, ми маємо два рівняння, що зв\'язують дві невідомі величини (r, g).

Висловлюємо з другої формули g і підставляємо результат в першу, отримуємо:

g = 2*pi*r/?;

h2 + r2 = 4*pi2*r2/?2 =>

r = h /?(4*pi2/?2 - 1).

Кут ? = 120o в радіанах дорівнює 2*pi/3. Підставляємо це значення, отримуємо кінцеві формули для r і g:

r = h /?8;

g =3*h /?8.

Залишається підставити значення висоти та отримати відповідь на запитання задачі: r ? 3,54 см, g ? 10,61 див. Автор: Валерій Савельєв 1 Грудня, 2018

Категория: Новости