Як знайти об\'єм правильної шестикутної призми (формула)

Опубликованно 17.02.2019 01:55

Визначення об\'ємів геометричних тіл є однією з важливих задач просторової геометрії. У даній статті розглядається питання, що таке призма з шестикутним підставою, а також наводиться формула обсягу правильної шестикутної призми. Визначення призми

З точки зору геометрії призмою називається фігура в просторі, яка утворена двома рівними багатокутниками, розташованими в паралельних площинах. А також кількома параллелограммами, які ці багатокутники з\'єднують у єдину фігуру.

У тривимірному просторі призму довільної форми можна отримати, якщо взяти будь-який багатокутник і відрізок. Причому останній площини многокутника належати не буде. Тоді, маючи цей відрізок від кожної вершини багатокутника, можна отримати паралельний перенесення останнього в іншу площину. Утворена таким способом фігура буде призмою.

Щоб мати наочне уявлення про розглянутому класі фігур, наведемо малюнок чотирикутної призми.

Багато хто знають цю фігуру під назвою паралелепіпеда. Видно, що два однакових багатокутника призми являють собою квадрати. Їх називають підставами фігури. Інші чотири її боку - прямокутники, тобто це приватний випадок паралелограмів. Шестикутна призма: визначення та види

Перш ніж наводити формулу, як визначається обсяг шестикутної призми, необхідно чітко зрозуміти, про який фігурі піде мова. Шестикутна призма має на підставах шестикутник. Тобто, плоский багатокутник з шістьма сторонами, кутів стільки ж. Бокові сторони фігури так само, як і для будь-якої призми, в загальному випадку є параллелограммами. Відразу відзначимо, що шестикутні основа може бути представлено як правильним, так і неправильним шестикутником.

Відстань між основами фігури - її висота. Далі ми будемо позначати її буквою h. Геометрично висота h являє собою відрізок, перпендикулярний обом підстав. Якщо цей перпендикуляр: опущений з геометричного центру однієї з підстав; перетинає друга підстава також в геометричному центрі.

Фігура в цьому випадку називається прямою. В будь-якому іншому випадку призма буде косокутної або похилої. Різницю між цими видами шестикутної призми можна побачити з першого погляду.

Пряма шестикутна призма - це фігура, що має в основі правильні шестикутники. При цьому вона є прямою. Розглянемо детальніше її властивості. Елементи правильної шестикутної призми

Щоб зрозуміти, як обчислити об\'єм правильної шестикутної призми (формула наведена нижче в статті), необхідно розібратися, з яких елементів складається фігура, а також якими властивостями вона володіє. Щоб було легше аналізувати фігуру, покажемо її на малюнку.

Головними її елементами є грані, ребра і вершини. Кількості цих елементів підпорядковується теоремою Ейлера. Якщо позначити Р - число ребер, У - кількість вершин і граней, тоді можна записати рівність:

Р = Р + У - 2.

Перевіримо його. Число граней розглянутої фігури дорівнює 8. Дві з них - це правильні шестикутники. Шість граней являє собою прямокутники, це видно з малюнка. Число вершин складає 12. Дійсно, 6 вершин належать одному основи, і 6 іншому. Згідно з формулою, число ребер має дорівнювати 18, що є справедливим. 12 ребер лежать на підставах і 6 утворюють паралельні один одному сторони прямокутників.

Переходячи до отримання формули об\'єму правильної шестикутної призми, слід зупинити свою увагу на одному важливому властивості цієї фігури: прямокутники, утворюють бічну поверхню, рівні між собою і перпендикулярні обом підстав. Це призводить до двох важливих наслідків: Висота фігури дорівнює довжині її бічного ребра. Будь-який перетин бічної поверхні піраміди, виконане з допомогою січної площини, яка паралельна підстав, є правильним шестикутником, рівним цих підстав. Площа шестикутника

Можна інтуїтивно здогадатися, що ця площа підстави фігури з\'явиться у формулі обсягу правильної шестикутної призми. Тому в даному пункті статті знайдемо цю площу. Правильний шестикутник, розділений на 6 однакових трикутників, вершини яких перетинаються в його геометричному центрі, показаний нижче:

Кожен з цих трикутників є рівностороннім. Довести це не дуже складно. Оскільки коло має 360o, то кути трикутників поблизу геометричного центру шестикутника рівні 360o/6=60o. Відстань від геометричного центру до вершин шестикутника є однаковими.

Останнє означає, що всі 6 трикутників будуть равнобедренными. Оскільки один з кутів рівнобедрених трикутників дорівнює 60o, значить, два інші кута теж рівні за 60o. ((180o-60o)/2) - рівносторонні трикутники.

Позначимо довжину сторони шестикутника буквою a. Тоді площа одного трикутника дорівнює:

S1 = 1/2*?3/2*a*a = ?3/4*a2.

Формула отримана на підставі стандартного вирази для площі трикутника. Тоді площа S6 для шестикутника буде:

S6 = 6*S1 = 6*?3/4*a2 = 3*?3/2*a2. Формула визначення обсягу правильної шестикутної призми

Щоб записати формулу для об\'єму даної фігури, слід врахувати наведену вище інформацію. Для довільної призми обсяг простору, обмежений її гранями, обчислюється так:

V = h*So.

Тобто, V дорівнює добутку площі підстави So на висоту h. Оскільки ми знаємо, що висота h дорівнює довжині бічного ребра b для правильної шестикутної призми, а площа її підстави відповідає S6, то формула обсягу правильної шестикутної призми прийме вигляд:

V6 = 3*?3/2*a2*b. Приклад рішення геометричної задачі

Дана правильна шестикутна призма. Відомо, що вона вписана в циліндр радіусом 10 см. Висота призми в два рази більше сторони її основи. Необхідно знайти об\'єм фігури.

Щоб знайти необхідну величину, необхідно знати довжину сторони і бічного ребра. При розгляді правильного шестикутника було показано, що його геометричний центр розташований в середині описаного навколо нього кола. Радіус останньої дорівнює відстані від центру до будь-якої з вершин. Тобто він дорівнює довжині сторони шестикутника. Ці міркування приводять до таких результатів:

a = r = 10 см;

b = h = 2*a = 20 див.

Підставляючи ці дані у формулу обсягу правильної шестикутної призми, отримаємо відповідь: V6?5196 см3 або близько 5,2 літра. Автор: Валерій Савельєв 3 Грудня, 2018

Категория: Новости