Загальне рівняння прямої на площині, у просторі

Опубликованно 12.06.2019 14:15

В геометрії після точки пряма лінія, мабуть, є самим простим елементом. Його використовують при побудові будь-яких складних фігур на площині та у тривимірному просторі. У цій статті розглянемо загальне рівняння прямої і розв'яжемо декілька задач з його використанням. Приступимо! Пряма лінія в геометрії

Кожен знає, що такі фігури, як прямокутник, трикутник, призма, куб і так далі утворені пересічними прямими лініями. Під пряма в геометрії вважається одновимірний об'єкт, який може бути отриманий шляхом перенесення певної точки на має одне і те ж або протилежний напрямок вектор. Щоб краще зрозуміти це визначення, уявімо, що є деяка точка P в просторі. Візьмемо довільний вектор u в цьому просторі. Тоді будь-яка точка Q прямий може бути отримана в результаті таких математичних операцій:

Q = P + ?*u.

Тут ? - це довільне число, яке може бути позитивним і негативним. Якщо рівність вище записати через координати, то ми отримаємо наступне рівняння прямої:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + ?*(a, b, c).

Це рівняння називається рівнянням прямої у векторній формі. А вектор u називається направляючим. Загальне рівняння прямої на площині

Кожен школяр без будь-яких труднощів зможе записати його. Але найчастіше рівняння записується так:

y = k*x + b.

Де k і b - довільні числа. Число b називають вільним членом. Параметр k дорівнює тангенсу кута, утвореного перетином прямої з віссю абсцис.

Наведене рівняння виражено відносно змінної y. Якщо ж його представити в більш загальному вигляді, тоді отримаємо наступну форму запису:

A*x + B*y + C = 0.

Неважко показати, що ця форма запису загального рівняння прямої на площині легко перетворюється на попередній вид. Для цього ліву і праву частини слід розділити на коефіцієнт B і висловити y.

Вище на малюнку показана пряма, що проходить через дві точки. Пряма в тривимірному просторі

Продовжимо наше вивчення. Ми розглянули питання, як задається на площині рівняння прямої в загальній формі. Якщо ми наведену в попередньому пункті статті форму запису застосуємо для просторового випадку, що у нас вийде? Все просто - вже не пряма, а площину. Дійсно, цей вираз описує площину, яка паралельна осі z:

A*x + B*y + C = 0.

Якщо C=0, то така площина проходить через вісь z. Це важлива особливість.

Як же бути тоді з загальним рівнянням прямої в просторі? Щоб зрозуміти, як його поставити, треба дещо пригадати. Дві площини перетинаються по певній прямій лінії. Що це означає? Лише те, що загальним рівнянням є результат розв'язання системи двох рівнянь для площин. Запишемо цю систему: A1*x + B1*y + C1*z + D1 = 0; A2*x + B2*y + C2*z + D2 = 0.

Ця система є загальним рівнянням прямої в просторі. Зауважимо, що площині не повинні бути паралельні один одному, тобто їхні нормальні вектори повинні бути нахилені під деяким кутом відносно один одного. В іншому випадку система не буде мати рішень.

Вище ми наводили векторну форму запису рівняння для прямої лінії. Її зручно використовувати при вирішенні даної системи. Для цього спочатку слід знайти векторний добуток нормалей даних площин. Результатом цієї операції буде напрямний вектор прямої. Потім, слід обчислити будь-яку точку, що належить прямій. Для цього потрібно покласти будь-яку зі змінних дорівнює значенню, дві змінні знайдуться шляхом вирішення наведеної системи. Як перевести векторне рівняння спільне? Нюанси

Це актуальна задача, яка може виникнути, якщо слід написати загальне рівняння прямої за відомими координатами двох точок. Покажемо, як розв'язується ця задача на прикладі. Нехай відомі координати двох точок: P = (x1, y1); Q = (x2, y2 ).

Рівняння у векторній формі скласти досить просто. Координати напрямного вектора дорівнюють:

PQ = (x2-x1, y2-y1).

Зауважимо, що немає ніякої різниці, якщо з координат точки P вираховувати координати Q, вектор лише змінить свій напрямок на протилежне. Тепер слід взяти будь-яку точку і записати векторне рівняння:

(x, y ) = (x1, y1) + ?*(x2-x1, y2-y1).

Щоб написати загальне рівняння прямої, слід виразити в обох випадках параметр ?. А потім порівняти отримані результати. Маємо:

x = x1 + ?*(x2-x1) => ? = (x-x1)/(x2-x1);

y = y1 + ?*(y2-y1) => ? = (y-y1)/(y2-y1) =>

(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1).

Залишається тільки розкрити дужки і перекинути всі складові рівняння в одну сторону рівності, щоб отримати загальне рівняння прямої, що проходить через дві відомі точки.

У випадку тривимірної задачі алгоритм рішення зберігається, тільки його результатом буде система двох рівнянь для площин. Завдання

Необхідно скласти загальне рівняння прямої, яка перетинає вісь x у точці (-3, 0), і яка паралельна осі y.

Почнемо рішення завдання з написання рівняння у векторній формі. Оскільки пряма паралельна осі ординат, то напрямних для неї вектором буде наступний:

u = (0, 1).

Тоді шукана пряма запишеться таким рівнянням:

(x, y) = (-3, 0) + ?*(0, 1).

Тепер переведемо це вираження в загальну форму, для цього виразимо параметр ?: x = -3; y = ?.

Таким чином, будь-яке значення змінної y належить прямій, однак, тільки єдине значення змінної x їй відповідає. Тому загальне рівняння прийме форму:

x + 3 = 0. Завдання з прямої в просторі

Відомо, що дві пересічні площини задані наступними рівняннями: 2*x + y - z = 0; x - 2*y + 3 = 0.

Необхідно знайти векторне рівняння прямої, по якій ці площини перетинаються. Приступимо.

Як було сказано, загальне рівняння прямої у тривимірному просторі у нас вже задано у вигляді системи з двох з трьома невідомими. В першу чергу визначимо направляючий вектор, по якій площині перетинаються. Множачи векторно координати нормалі до площин, отримуємо:

u = [(2, 1, -1)*(1, -2, 0)] = (-2, -1, -5).

Оскільки множення вектора на від'ємне число змінює його напрям на протилежний, то можна записати:

u = -1*(-2, -1, -5) = (2, 1, 5).

Щоб знайти векторне рівняння прямої, крім направляючого вектора слід знати яку-небудь точку цієї прямої. Знайти оскільки її координати повинні задовольняти системі рівнянь в умові задачі, то знайдемо їх. Покладемо для прикладу x = 0, тоді одержимо:

y = z;

y = 3/2 = 1,5.

Таким чином, належить шуканої прямої точка має координати:

P = (0, 1,5, 1,5).

Тоді отримуємо відповідь на дану задачу, векторне рівняння шуканої прямої буде мати вигляд:

(x, y, z) = (0, 1,5, 1,5) + ?*(2, 1, 5).

Правильність рішення можна легко перевірити. Для цього необхідно вибрати довільне значення параметра ? і підставити отримані координати точки прямої в обидва рівняння для площин, вийде тотожність в обох випадках.

Валерій Савельєв

Категория: Новости