Формула Герона, або Як знайти по трьом сторонам площа трикутника

Опубликованно 17.06.2019 07:25

Трикутник є найпростішою замкнутої на площині фігурою, що складається всього з трьох сполучених між собою відрізків. В задачах геометрії, часто необхідно визначити площу цієї фігури. Що для цього потрібно знати? У статті відповімо на запитання, як по трьом сторонам знайти площу трикутника. Загальна формула

Кожен школяр знає, що площа трикутника обчислюється як добуток довжини будь-якої його сторони - a на половину висоти h, опущеною на обрану сторону. Нижче наведена відповідна формула: S = a*h/2.

Цим виразом можна скористатися, якщо відомі хоча б дві сторони і кут між ними. У цьому випадку висоту h нескладно розрахувати з використанням тригонометричних функцій, наприклад, синуса. Але як знайти по трьом сторонам трикутника площа, знає далеко не кожен. Формула Герона

Саме ця формула є відповіддю на питання, як по трьом сторонам знайти площу трикутника. Перш ніж її записати, позначимо довжини відрізків довільної фігури як a, b і c. Формула Герона записується в наступному вигляді: S = ?(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)).

Де p - півпериметр фігури, тобто: p = (a+b+c)/2.

Незважаючи на гадану громіздкість, наведений вираз для площі S запам'ятати легко. Для цього слід спочатку розрахувати півпериметр трикутника, потім відняти з нього по одній довжині сторони фігури, перемножити всі отримані різниці і сам півпериметр. Наприкінці слід взяти квадратний корінь від твору.

Ця формула носить ім'я Герона Олександрійського, який жив на початку нашої ери. Сучасна історія вважає, що саме цей філософ вперше застосував вказане вираз для виконання відповідних обчислень. Ця формула опублікована в його праці "Метрика", який датується 60-м роком нашої ери. Відзначимо, що деякі роботи Архімеда, який жив на два століття раніше Герона, містять ознаки того, що грецькому філософу була вже відома формула. Крім того, як знайти площу трикутника, знаючи три сторони, також знали древні китайці.

Важливо відзначити, що поставлену задачу можна вирішити, не знаючи про існування формули Герона. Для цього слід провести в трикутнику пару висот і скористатися загальною формулою з попереднього пункту, склавши відповідну систему рівнянь.

Вираз Герона можна використовувати для обчислення площ довільних багатокутників, попередньо розбиваючи їх на трикутники і обчислюючи довжини виникають діагоналей. Приклад розв'язання задачі

Знаючи, як по трьом сторонам знайти площу трикутника, закріпимо отримані знання з допомогою рішення наступного завдання. Нехай боку фігури дорівнюють 5 см, 4 см і 3 див. Потрібно знайти площу.

Відомі три сторони трикутника, значить, можна скористатися формулою Герона. Обчислюємо півпериметр і необхідні різниці, маємо: p = (a+b+c)/2 = 6 см; p-a = 1 см; p-b = 2 см; p-c = 3 див.

Тоді отримуємо площа: S = ?(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = ?(6*1*2*3) = 6 см2.

Наведений в умові задачі трикутник є прямокутним, що неважко перевірити, якщо скористатися теоремою Піфагора. Оскільки площу такого трикутника половині добутку катетів дорівнює, то отримуємо: S = 4*3/2 = 6 см2.

Отримане значення збігається з аналогічним для формули Герона, що підтверджує справедливість останньої.

Валерій Савельєв

Категория: Новости